maandag, mei 19, 2008

Vraag 1: de kluisjes van Ruis

In de jaren tachtig had je de Willem Ruis-show. De show eindigde een tijd met een finale waarbij de winnende kandidaat een prijs mocht kiezen uit drie gesloten kluizen. In één van de kluizen lag een enorm geldbedrag. In de andere twee kluizen zat niets.

Als de finalist een kluis gekozen had, opende Ruis altijd een van de twee kluisjes waarin de prijs níét zat. De kandidaat mocht daarna opnieuw kiezen. Wat was de verstandigste beslissing voor de finalist? En waarom?

A: Bij de als eerste gekozen kluis blijven.
B: Switchen en dus de andere overgebleven kluis kiezen.
C: Het maakt helemaal niets uit. De kansen blijven 50/50.

14 opmerkingen:

ted zei

Als ik nou het verkeerde antwoord geef, ben ik dan heel dom? Ik denk dat je 50/50 kans hebt, maar toch kies ik A: bij je aanvankelijke keuze blijven. Dat wordt echter mede ingegeven door een soort bijgeloof dat je ook ziet bij een spelletje als DEAL OR NO DEAL: de kandidaat gelooft op de een of andere manier dat de goden hem goedgezind zijn en gaat nét iets te lang door met daar op vertrouwen.

Jan Paul zei

Nee, dan ben je niet dom. Integendeel. Ik had hem oorspronkelijk ook fout en mijn IQ wordt geschat op 260.

Alexander zei

C. De prijs blijft in het oorspronkelijke kluisje liggen en omdat er nog maar twee opties zijn is de kans dat hij wint even groot als de kans dat hij verliest.

bibi zei

ik doe ook c, want het blijft 50-50

Jan Paul zei

Dan doe ik hetzelfde als Willem Ruis. Ik elimineer een fout antwoord. C is het niet.

Richard zei

Ik kies voor B.

In de beginsituatie is de kans dat het geld in de kluis zit die jij aangewezen hebt 1/3. De kans dat de prijs in een van de andere twee kluizen zit is dus 2/3.

Zodra Willem een van die kluisjes open heeft gemaakt veranderen de kansen. De kans dat het geld in de kluis zit die jij hebt aangewezen blijft hetzelfde. De kans dat de kluis in de andere dichte kluis zit is 2/3, dus het is zinnig om te wisselen. Je verdubbelt er je kansen mee.

Jan Paul zei

Helemaal goed Richard!

Alexander zei

Huhh, dat snap ik niet... Hoe kan de kans dat de prijs in die andere dichte kluis zit nou ineens 2/3 zijn?

Jan Paul zei

Dat snapte ik eerst ook niet. Maar het klopt toch.

Neem de beginsituatie. De kandidaat heeft een kluis gekozen waarvan de kans 1/3 is dat dit de juiste kluis is. De kans dat de prijs bij een van de andere twee zit is daardoor 2/3.

Wat er nu gebeurt is dat Willem van die twee kluizen later een kluis opent die zeker leeg is. De kans dat de overgebleven kluis van die twee de prijs bevat blijft daardoor 2/3.

Deze week volgt nog een statistiekvraag voor een herkansing...

ted zei

Het klínkt wel slim, maar dat is het volgens mij niet. De prijs kan maar in één kluis liggen en blíjft daar ook liggen, dus de kans kan niet van eenderde zomaar veranderen in tweederde. Als je deze proef daadwerkelijk en herhaaldelijk zou uitvoeren, zal blijken dat geen van de kluizen tweederde kans heeft om de prijs te bevatten. Volgens mij.

Jan Paul zei

Het is juist andersom. De kans dat de eerst gekozen kluis de prijs bevat is 1/3 en die kan niet veranderen naar 1/2.

Dat komt omdat de kans 100% is dat er bij de andere twee kluizen een lege kluis zit. Die wordt weggehaald. Dat betekent dat de andere niet-gekozen kluis nu nog steeds die 2/3 kans heeft.

Jan Paul zei

Nog eenvoudiger. Stel dat je hetzelfde doet met duizend kluizen.

En je haalt telkens een foute kluis weg, totdat je er nog twee overhoudt. Dan is het helemaal duidelijk dat je moet switchen.

Richard zei

Je kunt het ook zo bekijken:

Er zijn drie gevallen te onderscheiden wanneer je switcht.

1. Je kiest in eerste instantie voor de grote prijs. Willem opent een kluis en je switcht. In dat geval verspeel je de prijs juist

2. Je kiest in eerste instantie voor de eerste lege kluis. Willem opent de andere lege kluis en je switcht. In dat geval win je de prijs.

3. Je kiest in eerste instantie voor de tweede lege kluis. Willem opent de andere lege kluis en je switcht. In dat geval win je de prijs.

Al deze mogelijkheden hebben een kans van 1 op 3. In het eerste geval gaat het mis, in het tweede en derde geval gaat het goed. Dat betekent dus dat het in 2 van de 3 gevallen loont om te switchen.

Edward zei

Ik weet dat je beredenering klopt, Jan Paul, maar bij je laatste commentaar hier (het voorbeeld van de duizend kluisjes) kun je ook zeggen: als al die 998 kluisjes afgevallen zijn is óók de kans dat je oorspronkelijk gekozen kluisje de juiste was veel groter geworden.
Dus: waarom switchen?